Содержание

Математика — гуманитарная наука? — Телеканал «Наука»

Если вы когда-нибудь задумывались над вопросом о том, зачем в самом деле гуманитарию нужна математика (или пытались объяснить это своим детям), то книга «Апология математики» Владимира Успенского расставит все точки над «i». В этом отрывке выдающийся профессор математики объясняет, что общего у физиков и лириков.

Никто не знает, сохранят ли грядущие века и тысячелетия сегодняшнее деление наук на естественные и гуманитарные. Но даже и сегодня безоговорочное отнесение математики к естественным наукам вызывает серьёзные возражения. Естественно-научная, прежде всего физическая, составляющая математики очевидна, и нередко приходится слышать, что математика — это часть физики, поскольку она, математика, описывает свойства внешнего, физического мира. Но с тем же успехом её можно считать частью психологии, поскольку изучаемые в ней абстракции суть явления нашего мышления, а значит, должны проходить по ведомству психологии. Не менее очевидна и логическая, приближающаяся к философской, составляющая математики. Скажем, знаменитую теорему Гёделя о неполноте, гласящую, что, какие способы доказывания ни установи, всегда найдётся истинное, но не доказуемое утверждение — причём даже среди утверждений о таких, казалось бы, простых объектах, как натуральные числа, — эту теорему с полным основанием можно считать теоремой теории познания.

В 1950-х гг. по возвращении с индийских научных конференций мои московские коллеги-математики с изумлением рассказывали, что в Индии математику — при стандартном разделении наук на естественные и гуманитарные — относят к наукам гуманитарным. И на этих конференциях им приходилось сидеть рядом не с физиками, как они привыкли, а с искусствоведами. К великому сожалению, у людей гуманитарно ориентированных математика нередко вызывает отторжение, а то и отвращение. Неуклюжее (и по содержанию, и по форме) преподавание математики в средней школе немало тому способствует.

Лет сорок назад было модно подчёркивать разницу между так называемыми физиками (к коим относили и математиков) и так называемыми лириками (к коим причисляли всех гуманитариев). Терминология эта вошла тогда в моду с лёгкой руки поэта Бориса Слуцкого, провозгласившего в 1959 г. в культовом стихотворении «Физики и лирики»:

Что-то физики в почёте,

Что-то лирики в загоне.

Дело не в сухом расчёте,

Дело в мировом законе.

Однако само противопоставление условных физиков условным лирикам вовсе не было вечным. По преданию, на воротах знаменитой Академии Платона была надпись: «Негеометр [нематематик. — В. У.] да не войдёт сюда!» С другой стороны, самоё математику можно называть младшей сестрой гуманитарной дисциплины юриспруденции: ведь именно в юридической практике Древней Греции, в дебатах на народных собраниях впервые возникло и далее шлифовалось понятие доказательства.

Можно ли и нужно ли уничтожать ставшие, увы, традиционными (хотя, как видим, и не столь древние!) границы между гуманитарными, естественными и математическими науками — об этом я не берусь судить. Но вот разрушить барьеры между представителями этих наук, между лириками и физиками, между гуманитариями и математиками — это представляется и привлекательным, и осуществимым. Особенно благородная цель — уничтожить этот барьер внутри отдельно взятой личности, т. е. превратить гуманитария отчасти в математика, а математика — отчасти в гуманитария. Обсуждая эту цель, полезно вспомнить некоторые факты из истории российской науки. Эти факты связаны в обратном хронологическом порядке с именами Колмогорова, Барсова и Ададурова (в другом написании — Адодурова).

«И я решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства».

Первая научная работа великого математика Андрея Николаевича Колмогорова [12 (25) апреля 1903, Тамбов — 20 октября 1987, Москва] была посвящена отнюдь не математике, а истории. В начале 1920-х гг., будучи семнадцатилетним студентом математического отделения Московского университета, он доложил свою работу на семинаре известного московского историка Сергея Владимировича Бахрушина. Она была опубликована посмертно и чрезвычайно высоко оценена специалистами — в частности, руководителем Новгородской археологической экспедиции Валентином Лаврентьевичем Яниным. Выступая на вечере памяти Колмогорова, состоявшемся в Московском доме учёных 15 декабря 1989 г., он так охарактеризовал историческое исследование Колмогорова: «Эта юношеская работа в русле исторической науки занимает место, до которого её [исторической науки. — В. У.] развитие ещё не докатилось. Будучи опубликованной, она окажется впереди всей исторической науки».

А в предисловии к вышеназванному посмертному изданию исторических рукописей Колмогорова В. Л. Янин писал: «Некоторые наблюдения А. Н. Колмогорова способны пролить свет на источники, обнаруженные много десятилетий спустя после того, как он вёл своё юношеское исследование». И там же: Андрей Николаевич сам неоднократно рассказывал своим ученикам о конце своей «карьеры историка». Когда работа была доложена им в семинаре, руководитель семинара профессор С.В. Бахрушин, одобрив результаты, заметил, однако, что выводы молодого исследователя не могут претендовать на окончательность, так как «в исторической науке каждый вывод должен быть снабжён несколькими доказательствами» (!). Впоследствии, рассказывая об этом, Андрей Николаевич добавлял: «И я решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства». История потеряла гениального исследователя, математика приобрела его.

Двадцать шестого апреля (по старому стилю, а по новому — 7 мая) 1755 г. состоялось торжественное открытие Московского университета. После молебна были сказаны четыре речи. Первая из них — и притом единственная прозвучавшая на русском языке — называлась «О пользе учреждения Московского университета». Произнёс её Антон Алексеевич Барсов [1 (12) марта 1730, Москва — 21 декабря 1791 (1 января 1792), там же]. Неудивительно, что в 1761 г. он был назначен профессором (в современных терминах — заведующим) на кафедру красноречия; вступление в эту должность ознаменовалось его публичной лекцией «О употреблении красноречия в Российской империи», произнесённой 31 января (11 февраля) 1761 г. Чем же занимался Барсов до того? Преподавал математику — именно с Барсова, в феврале 1755 г. специально для этой цели переведённого из Петербурга в Москву, и началось преподавание математики в Московском университете! Впоследствии Барсов прославился трудами по русской грамматике; ему же принадлежит и ряд предложений по русской орфографии, тогда отвергнутых и принятых лишь в XX в. К сожалению, портрет А. А. Барсова не сохранился.

Этот этап сравним с осознанием того, что кажущаяся пустота вокруг нас заполнена воздухом.

Ещё раньше, в 1727 г., знаменитый математик Даниил Бернулли, работавший в то время в Петербургской академии наук, обратил внимание на студента этой академии Василия Евдокимовича Ададурова [15 (26) марта 1709, Новгород — 5 (16) ноября 1780, Москва]. В письме к известному математику Христиану Гольдбаху от 28 мая 1728 г. Бернулли отмечает значительные математические способности молодого человека и сообщает о сделанном Ададуровым открытии: сумма кубов последовательных натуральных чисел равна квадрату суммы их первых степеней: 13 + 23 +… + п3 = = (1 + 2 +… + п)2. Математические заслуги Ададурова засвидетельствованы включением статьи о нём (с портретом, выполненным в технике силуэта) в биографический раздел однотомного «Математического энциклопедического словаря» (М., 1988). А из статьи «Ададуров» в первом томе «Нового энциклопедического словаря» Брокгауза и Ефрона мы узнаём, что Ададуровым написано несколько сочинений по русскому языку и, более того, что «в 1744 г. ему было поручено преподавать русский язык принцессе Софии, т. е. будущей императрице Екатерине II». Последующие изыскания (они были проведены братом автора этих строк Борисом Андреевичем Успенским) показали, что Ададуров является автором первой русской грамматики на русском же языке, составление каковой следует рассматривать как большое событие. Ведь важнейший этап в языковом сознании носителей какого бы то ни было языка — появление первой грамматики этого языка на том же самом языке; этот этап сравним с осознанием того, что кажущаяся пустота вокруг нас заполнена воздухом. Прибавим ещё, что с 1762 по 1778 г. Ададуров был куратором Московского университета — вторым после основавшего университет И. И. Шувалова.

Итак, даже если согласиться с традиционной классификацией наук, отсюда ещё не следует с неизбежностью аналогичная классификация учёных или учащихся. Приведённые факты показывают, что математик и гуманитарий способны уживаться в одном лице. Здесь предвидятся два возражения. Прежде всего нам справедливо укажут, что Ададуров, Барсов, Колмогоров были выдающимися личностями, в то время как любые рекомендации должны быть рассчитаны на массовую аудиторию. На это мы ответим, что образцом для подражания — даже массового подражания — как раз и должны быть выдающиеся личности и что примеры Ададурова, Барсова, Колмогорова призваны вдохновлять. Далее нам укажут, опять-таки справедливо, что отнюдь не всем гуманитариям и отнюдь не всем математикам суждено заниматься научной работой, это и невозможно, и не должно. Ну что ж, ответим мы, примеры из жизни больших учёных выбраны просто потому, что история нам их сохранила; сочетать же математический и гуманитарный подход к окружающему миру стоит даже тем гуманитариям и математикам, которые не собираются посвятить себя высокой науке, и это вполне посильная для них задача. 

«Математика — это гуманитарная наука»

«Троицкий вариант» №2(146), 28 января 2014 года

В новогодние каникулы 2014 года Владимир Андреевич Успенский любезно согласился встретиться и поговорить с Михаилом Гельфандом. Мы публикуем расшифровку стенограммы этой беседы, подвергшуюся минимальному редактированию. Курсивом показаны места, выделенные в разговоре интонацией.

В ходе интервью В. А. Успенским было рассказано о двух его любимых лекторах, П. С. Новикове и И. М. Гельфанде. Этот рассказ помещен в конце интервью.

Математика, физика и лингвистика

— Насколько я понимаю, у Вас занятия математикой всегда происходили на границе математики и языка, это был в каком-то смысле лингвистический фланг математики.

— Я не могу сказать, что это происходило на границе математики и лингвистики. Скорее, это был логический фланг. Все-таки математикой я начал заниматься существенно раньше, чем лингвистикой.

Есть такой уважаемый мною человек, Евгений Абрамович Бунимович. В ноябре 2013 года, на церемонии вручения премии «Просветитель», членом жюри которой он состоит, он сказал: «В России есть всего два математика, которые считают, что математика — это гуманитарная наука: это Владимир Андреевич Успенский и я».

— Я не математик, но я тоже так считаю.

— Правильно. Но, скажем, великий Арнольд — наши ранги как математиков несопоставимы, так что я испытываю неловкость, возражая ему, — считал, что математика это часть физики.

— Я ровно про это и хотел спросить.

— Если математика — часть физики, то с таким же успехом она — часть психологии. Потому что всё происходит в голове у человека. Возьмите такую науку, как теория чисел. Никаких аксиом там нет. Я плохо отношусь к Виноградову [1], как и большинство приличных людей, но его книжку «Основы теории чисел» читал с огромным удовольствием.

Она начинается из ничего и доходит до некоторых высот. Потому что в головах имеется некоторое представление о натуральном числе, и если один человек сидит здесь, а другой — в Новой Зеландии, то это представление у них будет одинаковым: ведь выводы, к которым они приходят, совпадают. Значит, это свойство человеческой психологии. Некоторые выводят из этого существование Бога. Об этом я не берусь судить, но сам факт такого единства достоин внимания.

— Недавно в Science была статья, что восприятие малых количеств у людей в голове находится вовсе не в том месте, где последовательный индуктивный счет. И имеется пространственный градиент активности в соответствующей зоне коры головного мозга в зависимости от числа предъявленных картинок, от одного до семи [2].

— Конечно, а дальше уже «много». Это отражается в языке: два, три, четыре стула, но пять стульев. Мой любимый тезис, что бесконечность — это аппроксимация конечного сверху. Иногда проще сказать не «восемь септильонов», а «бесконечно».

— «Много» начинается там, где не видно сразу, а надо считать, показывая пальцем.

— Вы затронули интересный вопрос, мне его иногда задают важные коллеги, — откуда начинается натуральный ряд, с ноля или с единицы? Дело в том, есть два понятия натурального ряда. Есть количественное, оно охватывает ноль: «Сколько здесь крокодилов? — Ноль», а есть «считательное»: если пересчитывать крокодилов, то, конечно, будет «раз, два, три…».

— Но большинство математиков все-таки идут от физики. Владимир Игоревич Арнольд, Юрий Иванович Манин [3], Израиль Моисеевич <Гельфанд>…

— Откуда идет большинство — это я не знаю. Египетская математика идет от прикладных задач, как пирамиды строить.

— То есть, это, скорее, физическая линия.

— Да, но греческая математика уже идет от высоких воспарений. Все-таки европейская математика происходит из Греции, а не из Египта. Пифагор — несоизмеримость отрезков [4], на хрен она, вообще говоря, была грекам нужна для их физики? А это великое открытие.

— Но если в европейской математике есть, условно, египетская физическая линия и греческая психологическая.

— Я бы сказал, психолого-эстетическая.

— … то как в других математических культурах?

— Откуда же мне знать?

— Вы не пытались смотреть?

— Для этого нужно быть специалистом по истории математики.

— Вам никогда не хотелось?

— Хотелось. История математики — это чрезвычайно интересная наука, находящаяся повсеместно на довольно низком уровне. По следующей причине: ею занимаются люди, иногда вполне неглупые, но, как правило, те, у кого не получалась математика. Я с этим столкнулся на следующем примере. Когда мы с А. Л. Семёновым писали книжку про алгоритмы [5], мне нужно было узнать, у кого появилось понятие алгоритма — не слово (все знают про Аль-Хорезми [6]), а понятие алгоритма как описания процесса, который не ограничен в числе шагов, но приводит к результату.

На ответ я наткнулся почти случайно. Впервые это понятие появилось у Эмиля Бореля в 1912 году, но никто об этом не знал, потому что появилось оно в статье Бореля об определенном интеграле. Там он писал о «вычислениях, которые можно реально осуществить», подчеркивая при этом: «Я намеренно оставляю в стороне большую или меньшую практическую деятельность; суть здесь та, что каждая из этих операций осуществима в конечное время при помощи достоверного и недвусмысленного метода». Специалисты по математическому анализу, интересующиеся понятием интеграла, это прочли и пропустили мимо. А специалисты по теории алгоритмов в такую литературу не заглядывают. А ведь Борель в точности определил, что такое алгоритм.

— Примеры алгоритмов были и раньше.

Примеры — разумеется. Я говорю про понятие, это большая разница. Конечно, у Аль-Хорезми были описания, как что-то там складывать…

— Или европейские математики, которые друг с другом соревновались в решении разных типов кубических уравнений.

— Задачи на построение — это по существу тоже алгоритм.

— Раз так, у Евклида не найдется строгого списка разрешенных операций и их последовательных комбинаций?

— Не найдется.

—А если широко на это посмотреть?

— Если посмотреть очень широко, да еще с современных позиций, то, возможно, из книг Евклида можно извлечь такой список. Осознавал ли его Евклид, неизвестно.

— Еще о классификации наук. Если считать, что математика — гуманитарная наука, то не является ли лингвистика — естественной наукой?

— Нет.

— Именно лингвистика, не филология.

— Если так, это правильный вопрос. Тогда да, согласен, в значительной степени является. Я считаю, что главная беда лингвистики — что она оказалась склеенной с литературоведением. Как сиамские близнецы. Что ее губит.

Математика и музыка

— Очень многие хорошие математики, которых я мог наблюдать или про которых слышал, много и в каком-то смысле глубоко слушали музыку. Израиль Моисеевич, Манин.

— Колмогоров.

— Музыкальный клуб на мехмате.

— Да, Александров.

— В моем поколении Максим Концевич…

— И что?

— Это правильное наблюдение?

— Правильное.

— Не связано ли это с тем, что одни и те же структуры мозга работают?

— Откуда же мне знать?

— А если фантазировать?

— С таким же успехом это может быть связано с тем, что работают противоположные структуры и происходит отдых. Можно сделать такой вывод и написать несколько диссертаций, а можно сделать другой вывод и тоже написать несколько диссертаций.

— Сейчас, видимо, можно приложить электроды и померить, какие области работают там и там. Меня удивляет, что этого никто не сделал.

— В мае 2004 года я побывал в Провиденсе, куда меня привезла мой друг Таня Корельская с целью посмотреть церемонию выпуска бакалавров Брауновского университета. Дело в том, что среди тех, на кого надели мантию, была ее старшая дочь Ксения. Таня привела меня в дом Вашего отца, которого я знаю с его 11 лет. Там я был напоен лучшей водкой, которую я когда-либо пил, и которую я с тех пор не могу ни забыть, ни найти [7]. А Ксения, занимавшаяся нейролингвистикой, привела меня в одну из университетских лабораторий, где мне показали на экране компьютера, как меняется приток крови к различным участкам мозга при произнесении тех или иных слов. Это, конечно, более грубо, чем электроды. Вот Вы — доктор биологических наук — сделайте.

— Я не тех биологических наук доктор.

— Ну, найдите кого-нибудь, кто сделает.

— А Вы слушаете музыку? Насколько это для Вас существенно?

— У меня с музыкой очень плохо, я об этом очень сожалею. Андрей Николаевич Колмогоров пытался меня приучить, что-то объяснял. Например, он мне объяснил вещь, которую я до него не понимал. Я не любил пение; как говорила моя теща, «я не люблю, когда при мне поют», — вот это мне было очень понятно. Он мне объяснил, что это такой музыкальный инструмент. Есть виолончель, есть фортепиано, а есть человеческий голос. Но я задал ему вопрос, на который он не смог ответить: «А слова-то зачем? Я их всё равно разобрать не могу».

— У Баха понятно, зачем.

— Это религиозные гимны, тут понятно, зачем.

— У Баха была целая риторическая система [8].

— Это другое дело, тут слова, которые иллюстрируются музыкой. А я помню арию Орфея «Потерял я Евридику, Евридики нет со мной», которую на виниловой пластинке мне ставил Колмогоров. Он честно пытался приучить меня к музыке. Андрей Николаевич меня должен был выгнать за эту неспособность, но терпел. Я сам себя в этом смысле считаю человеком патологическим. Это что-то вроде дислексии — я слышу по радио музыку, я понимаю, что я эту музыку много раз слышал и ее люблю, но запомнить, кто это и что это, я не в состоянии.

— Это другое. Вот я, скажем, лица людей не помню. И не связываю с именами. Но саму мелодию помните?

— Воспроизвести, конечно, не могу. Но я помню, что я эту мелодию много раз слышал, она мне нравится, но что это. Единственное, что я могу опознать, — это «Болеро» Равеля, причем не само «Болеро», а ритм барабана [9] — я его с трудом, но выучил.

Ну, подождите. Многие крупные математики, тот же Колмогоров, занимались усиленно спортом. Нет, не спортом, а именно физической культурой.

— Кажется, меньше. И потом, это их не выделяет из других ученых. А вот любовь к серьезной музыке — это уже специфично для математиков.

— Интересно, да.

— Опять, если бы были под рукой хорошие социологи, можно было бы их на это напустить.

Как думают математики

— Чем отличается хороший математик от плохого? В чем разница во внутренних ощущениях и в способах обращения с материалом?

— Откуда же я знаю? Я же не хороший математик, я только со стороны могу смотреть. Есть несколько жанров математика. Когда-то мне Колмогоров говорил, что может быть очень хорошая работа, в которой теорем почти не доказывается, но вводится система понятий, которая чрезвычайно важна. Сюда же, видимо, относятся те, кто открывает новые теории. Третьи — те, кто решает задачи, которые стояли много лет, в узкой области.

Вот, опять, Виноградов — он хороший математик или нет? Наверное, сильный, и даже очень сильный, хотя и «узкий». Конечно, было бы лучше, если бы не делали вид, что он решил проблему Гольдбаха [10], которую он не решил. Но то, что он действительно решил в этой проблеме, достойно всяческого уважения. Так что есть разные математики. Что-то должно реализоваться: или умение решать сложную проблему, или придумывать новые теории, или создавать новую систему понятий.

— Я бы еще четвертое добавил — умение видеть связи между далекими областями.

— Вы правы. То, что умел делать Ваш великий дед.

— Я из воспоминаний о нем это и узнал — я не сам это придумал. Поскольку я вообще никакой не математик, хотя тоже мехмат заканчивал.

Когда я наблюдал математически сильных людей, на моем курсе и вокруг, у меня всегда было ощущение, что они умеют обращаться с понятиями, для которых у меня нет соответствующей машинки в голове. Пока можно было формально писать — я чисто алгебраически это делал, но как только чуть выходило за рамки, оказывалось, что я просто не умею про это думать.

— Думаю, Вы не по адресу. Вам надо бы взять какого-нибудь сильного математика, Манина, например.

— Я разговаривал с Юрием Ивановичем [3]. Это не помогает. Они в этот момент начинают, как поэты, разговаривать образами.

— Колмогоров, на моей памяти не меньше двух раз, обращал внимание вот на что. Математик, когда он думает, шевелит руками, пальцами. Он явно геометризирует какие- то мысленные конструкции. Колмогоров считал, что если изучить эти движения, то можно что-то понять в отношении мышления математика. Кто-то сказал, не помню кто, что математика берет образы несуществующие и обращается с ними, как с существующими. «Возьмем паракомпакт и выберем в нем точку» — что, как, где возьмем? Как выберем?

Тогда это возвращает нас к разговору про математику и музыку. Альфред Шнитке говорил, что, когда он пишет музыку, он записывает то, что уже знает. Он не сочиняет последовательно — первую часть, потом вторую, — нет, у него имеется некоторый цельный образ, и его задача, как композитора, наиболее адекватно передать этот образ теми средствами, которые есть в его распоряжении.

— Когда математик пишет статью, он, конечно, в голове ее всю уже написал. Технических деталей может не хватать, но всё уже понятно.

Откуда берутся ошибки в математике? Ошибочные гипотезы — сбой этого механизма? Неправильная картинка в голове возникла?

— Конечно. Но она — мощный двигатель прогресса. Вот, например, у Колумба была ошибочная гипотеза, что если плыть на запад, то там сразу Индия.

Это пример не совсем про то; тут уж очень конкретно. Есть примеры, когда такие ошибки сильно продвинули математику?

— Убежден, что есть… (пауза). Ну вот, у великого математика Анри Лебега [11] была неправильная теорема, которую он опубликовал. Из ее опровержения возникла дескриптивная теория множеств. Фундаментальный вклад в эту теорию внес Николай Николаевич Лузин, создатель московской математической школы. У Лузина была книга [12], первоначально, в 1930 году, изданная в Париже по-французски с лестным предисловием Лебега.

Она потом два раза, отдельным изданием в 1953 году и во втором томе собрания сочинений Лузина в 1957 году, выходила в СССР в русском переводе, и оба раза обходились без предисловия Лебега. Это само по себе замечательно — кто такой Лебег, чтобы на него тратить время и бумагу. Про издание 1953 года всё понятно: оно готовилось еще при жизни Сталина, в период инициированной им борьбы с «низкопоклонством перед Западом». В издание 1957 года предисловие, думается, не было включено по причине традиционного издательского консерватизма.

Русский перевод предисловия удалось опубликовать лишь в 1985 году в связи со столетием Лузина [13]. Так вот, в этом предисловии было сказано: «Источником всех проблем, о которых пойдет здесь речь, послужила грубая ошибка в моем Мемуаре об аналитически представимых функциях. Плодотворная ошибка, меня просто вдохновило ее совершить». И далее: «Доказательство было простым, коротким, но неверным».

Это вот про что. Сначала на прямой — вы начинаете с отрезков, а дальше применяются три операции: дополнение, объединение счетного числа множеств и пересечение счетного числа множеств. Всякое множество, которое можно получить в результате, называется борелевским. На плоскости — аналогично, только начинаем с прямоугольников. А дальше вопрос: проекция плоского борелевского множества на прямую — это борелевское множество или нет? Лебегу было очевидно, что борелевское, и он это доказал и сделал из этого глубочайшие философские выводы, что математический анализ замкнут сам в себе, потому что за пределы борелевских множеств нельзя никуда выйти.

Дальше была драматическая история — в России на семинаре Лузина была обнаружена ошибка. У Лузина был выдающийся ученик, Суслин [14], который построил пример борелевского множества, проекция которого не борелевская. Сейчас проекции борелевских множеств называют суслинскими или А-множествами, Лузин называл их аналитическими. Им посвящена целая книга [12], от которой и пошла современная дескриптивная теория множеств.

Это пример не просто неправильной гипотезы, а неправильной теоремы, которая послужила толчком к созданию целого направления математики.

Какой математике учить

Разговор про основы матанализа подводит еще к одному сюжету. Ясно, что многим нематематикам, условно говоря, филологам и биологам, нужна математика, и их надо ей учить.

—Ну, филологам вряд ли… Разве что статистика для стиховедения.

Лингвистам.

— Лингвистам — да. Биологам — конечно.

Теперь — для чего она им нужна? Первое соображение — тривиальное. Скажем, всем нужна статистика; это часть математики. Биологам нужны дифференциальные уравнения.

— Это у нас математическая статистика — часть математики. На Западе математическая статистика и теория вероятности образуют отдельный раздел науки, по объему равный математике, а то и превосходящий ее.

Везде на Западе или только в США?

— Точно не знаю.

Если США, то понятно, почему так.

— Да, из практических соображений. Страхование и так далее.

Ну вот, первое, чему надо учить — это, грубо говоря, набор навыков, в каком-то смысле инженерных. А вторая причина — это то, что математика «ставит» мозги. Люди должны понимать смысл логических утверждений, понимать, что он может сильно поменяться от изменения порядка слов, что кванторы нельзя переставлять. «Для любого эпсилон существует дельта такая, что…» и «существует такая дельта, что для любого эпсилон… » — это существенно разные вещи.

— Это главное.

Конечно. Но правильно ли учить этому на материале классического анализа, на языке эпсилон-дельта? Или сейчас для этого стоит брать какой-нибудь другой раздел математики? Я смотрел программу экзамена на нашем факультете биоинформатики. Вершиной там была лемма о компактности шара.

— Это им не нужно. Это и на мехмате бывает сложно первокурсникам.

В России всюду поступают так. Берут мехматское образование и в разных местах его урезают, иногда сильно, иногда слабо, иногда, скажем, на ВМК [15], оставляют почти такое же. На мехмате понятно, зачем эпсилон-дельта: математический анализ нужно профессионально выучить.

Учат всюду неправильно.

А как правильно?

— Как правильно, я не знаю. Прежде всего, надо правильно обозначить цели. Может быть, цель — научить логике? Я много лет преподавал математическую логику лингвистам… Ну, например, что является отрицанием утверждения «в этой аудитории каждый из студентов знает хотя бы один из двух языков — баскский или чукотский» [16]? Вот на таких примерах надо учить.

Казалось бы, это ничем не отличается от эпсилон-дельта.

— Правильно. Это не отличается по целям и по способу, но это гораздо нагляднее.

Это для лингвистов. А для биологов?

— Для всех. Какая разница?

Может быть, биологов вообще не надо этому учить, потому что не видно, где бы в биологии это было существенно. Лингвисты должны видеть структуру предложения…

— Все говорят на языке — все должны видеть структуру.

Мне казалось, что биологов надо учить на материале комбинаторики. Понять разницу между схемой с возвращением и схемой без возвращения [17] — это примерно такое же интеллектуальное усилие, как понять порядок кванторов.

— Не совсем. Вы правы, что это усилие такой же трудности. Но содержательно — я не согласен. Чему надо учить биологов — это Вам виднее. Это Вам виднее. Определять это должны не математики, которые всех хотят учить всему, а те, кого учат. Чему надо учить — неизвестно. Чему в школе надо учить, не знает никто.

Возможно, я не с того конца зашел. Есть две области математики, которые имеют дело с простыми и очень естественными объектами: логика, которая фактически работает с языком, и комбинаторика, которая имеет дело с предметами.

— Комбинаторика имеет дело с множествами. Стало быть, появляются кванторы. Ну, вот совсем простая задача: в Швейцарии каждый знает не менее трех из четырех официальных языков. Доказать, что любые три швейцарца могут объясниться на общем языке. Это и комбинаторика, и логика.

Видимо, правильный курс должен состоять из таких вещей. Если считать, что есть цель преподавания математики «естественным» ученым, помимо инженерной…

— Ломоносов говорил, я это по своей брошюре [18] цитирую: «Математику уже за то любить надо, что она ум на место ставит».

… из чего такой курс должен состоять?

— Вы ошибочно полагаете, что я знаю. Но я согласен, что комбинаторика там должна занимать большое место. В частности, такого сорта задачи: имеются монеты, некоторые из них фальшивые, и нужно сколькими- то взвешиваниями определить, какие. Разные схемы могут быть.

Все-таки, это, скорее, про то, как надо учить математике в биологической школе. Это уровень интересных задач и общего развития. А я спрашиваю, надо ли преподавать что-то систематическое.

— Опять — нужно подойти с другого конца. Кто-то мне давно сказал, что «надо» — слово бессмысленное. Правильно — «надо для чего-то». Вот и решайте.

Вот Лузин, когда учился в гимназии, «поначалу обнаружил полную неспособность к математике в той форме, в которой она преподавалась (заучивание правил и действия по шаблонам)» [19].

Любимые лекторы

В моей жизни были два совершенно гениальных лектора. Походы на их лекции являлись полным наслаждением. Причем, я очень хорошо помню, что, хотя ходить было наслаждением, как на концерт, если лекция отменялась, я был рад. Почему? Не знаю, какая-то психология — я не мог и сейчас не могу объяснить механизм.

Этими лекторами были Пётр Сергеевич Новиков и Израиль Моисеевич Гельфанд. Оба читали на мехмате, в старом здании на Моховой. У них были абсолютно противоположные стили.

У Новикова лекция часто состояла из поправок к предыдущей: он исправлял неточности, даже ошибки. Общение со студентами было, я бы сказал, повышенно любезное. Студентов было мало — это были необязательные лекции по дескриптивной теории множеств, факультатив для желающих. Сидело человек 12, а то и меньше. Помню неприятный момент, когда пришла сотрудница деканата и переписала, кто с мехмата, — оказалось трое.

Народу было так мало, что однажды, когда я не мог прийти на следующую лекцию, я его предупредил — было бы заметно. Его реакция была совершенно неожиданной, он сказал: «Ну, так мы отменим». Я его предупредил перед лекцией, и он начал ее с объявления, что следующая лекция будет не по расписанию, а через раз.

Среди постоянных слушателей был Есенин-Вольпин. Вот Новиков говорит: «А теперь мы должны ввести целое множество символов». Есенин-Вольпин, естественно, спрашивает: «А что такое символ?» («Википедия»: «Основу математических и философских взглядов Есенина-Вольпина составляет крайний скептицизм — отрицание всех принимаемых на веру абстрактных понятий». — М.Г.). И вся лекция уходит на выяснение того, что такое символ. При этом всё у меня было записано, мои конспекты даже ездили в Воронеж ценной бандеролью. Дескриптивная теория множеств — это вещь тяжелая.

Теперь Гельфанд. Продумано всё до последней мелочи. Необычайно изящно. Он когда-то сказал: «Моцарт! Он не делает ошибок!» (Это было про Колмогорова, который под конец жизни как раз допустил пару ошибок и очень расстраивался.) И вот он сам изяществом стиля своих лекций был, как Моцарт. Это был 1950/1951 учебный год, обязательные лекции по интегральным уравнениям для четвертого курса. Они читались в одной из больших, но плоских аудиторий (самые большие аудитории — амфитеатром).

Лекции обязательные для четвертого курса, но на них приходят с других курсов, с других факультетов (с физического бегают) — сидят на подоконниках, висят на люстрах. Читает очень ясно, но как-то раз я чего-то не понял. Я послал ему записку, что такое-то место мне непонятно; не подписался. Он прочитал записку и сказал: «Ну, только полный идиот может написать такое. Он ничего не понимает с самого начала, и не понятно, что он вообще тут делает». Высказался по полной программе. Я пришел в бешенство: «Твою мать — я студент, ты профессор, я могу чего-то не понять, твое дело объяснить — ну или сказать, что сейчас не время, и объяснить после лекции — но не хамить».

А еще у него была манера тыкать пальцем в произвольного студента и вызывать к доске. И он тыкает в меня, совершенно случайно: «Вот, мы дошли до такого места, что мы дальше должны делать?» Я знаю, но говорю: «Я не знаю». Он спрашивает: «Как это Вы не знаете?» И начинает на меня орать. Когда он кончил орать, я сказал: «Не знаю я потому, что я забыл дома очки и не вижу». Я действительно забыл очки, но, напрягшись, со второго ряда мог разглядеть, хотя с трудом, и всё понял и записал. Он говорит: «Чего Вы тогда тут сидите?» И вот тут я ему врезал. Я сказал: «Сижу я тут потому, что у нас обязательное посещение». Еще раз повторяю: сидят на подоконниках, с других курсов, с других факультетов, и вообще, это огромное событие — лекции Гельфанда. Что он мог сказать? — «Садитесь».

Я понимаю, что накликал беду на свою голову. Потом экзамен. Экзамен у Гельфанда происходит так: он запускает сразу человек двадцать. Всем дает задачу, каждому свою, а сам бегает и смотрит. Решил человек задачу — может выбрать: немедленно получить тройку или, если хочет больше, ему опять дается задача, уже следующего уровня, и всё повторяется.

Мне он дает задачу, русским языком сказать, охренительную. Я чрезвычайно себя ругаю, что ее не записал. Несколько лет помнил, потом забылось.

Решить я ее не могу. Он на меня поглядывает с большим удовлетворением — конечно, он меня запомнил. Так проходит два часа. Экзамен еще продолжается, кто-то приходит, уходит. Он видит, что у меня ничего нет. Подходит и спрашивает: «Ну, как у Вас?» Я говорю: «Вот у меня такие-то соображения». Он опять начал орать: «Меня не интересуют Ваши соображения! Меня интересует, решили Вы задачу или не решили. Если решили — пишите решение. Если не решили — так и скажите: «Не решил»».

Дальше произошло нечто невероятное. У меня было такое впечатление, что от этого крика у меня в мозге разорвалась какая-то пленка. Даже как будто звук раздался. И в эту самую минуту задача решилась. Конечно, всё это время, пока я сидел, что-то такое у меня в селезенке и родственных органах происходило. Но вот от крика всё решилось. И я тогда ему ехиднейшим голосом говорю: «Простите, Израиль Моисеевич, я думал, Вас интересуют мои соображения, но если Вас интересует всего лишь решение, вот оно». И выписываю ему решение. Мы оба обалдели совершенно одинаково. Он же видел, что у меня нет ничего… Но надо отдать ему должное, он не стал мне давать другой задачи: эта задача уже была на «шесть». Он с отвращением поставил мне «пять», и я удалился.

А дальше происходит следующее. Подходит конец моей аспирантуры. Она заканчивается 15 ноября 1955 года. Наступает весна 55-го года, а диссертация у меня не написана. Она у меня вся есть в голове, есть публикации — надо сесть и записать. И тут моя жена принимает чрезвычайно странное решение —  чтобы я написал диссертацию, меня надо послать в курортный город Палангу, в пансионат Союза писателей. Почему он назывался «пансионат», не ясно — там давали только кров, никакого пансиона не было, питайся, где хочешь.

У меня была комната под крышей, которая страшно раскалялась. Мне было скучно писать диссертацию, поэтому я сначала отредактировал перевод Есенина-Вольпина книги Клини «Введение в метаматематику». Есенин-Вольпин, переведя Клини, совершил этим, конечно, подвиг, но переводил он так. Вот такая фраза: «Все f E g» — как ее надо понять?.. В оригинале было: «All f’s of E are g’s». По-английски «’s» — это множественное число. По-русски как писать — «f-ы»? «g» — это ранее введенные объекты. «Е», оказывается, стоит в родительном падеже. И еще тут пропущено сказуемое-связка. Потом я написал большую статью в «Успехи математических наук», а потом стал лихорадочно писать диссертацию, потом уже в Москве ее дописал, отдал перепечатать и успел защититься в срок.

Ну вот. Приезжаю я в этот пансионат, и первых, кого я вижу, — Гельфанда с семьей, Зорей Яковлевной и тремя сыновьями, старшему из которых, Сереже, было 11 лет; это был Ваш отец. И Гельфанд меня видит. Смешанные чувства отражаются на его лице. С одной стороны, он меня терпеть не может, как мы потом, на следующий день, выяснили. Как и я его. Но там писатели, причем половина — литовских, и я единственный, с кем можно разговаривать. Нет повода для сближения, но происходит вот что: отключается электричество. Там несколько щитов с переключателями, с пробками, что-то перегорело.

И он говорит так: «Вы бегайте по этажам и там выкручивайте и вкручивайте лампочки, а я буду стоять на первом этаже и по Вашим указаниям менять пробки на центральном щите. Это же по Вашей части» (тогда компьютеров не было, главным приложением логики были релейно-контактные схемы). Я начинаю бегать и понимаю, что произошло: я вычисляю ту лампочку, которая перегорела, и сгоревшую пробку; по одной никак не сходилось. Я тогда был молодой, и в голове что-то еще работало. Я ему указал пробку, он ее поменял, и всё заработало. И дальше мы уже довольно быстро подружились.

Он спросил, чем я занимаюсь, я ответил, и он сказал: «Ну, хорошо, читайте мне лекции по теории алгоритмов». Мы садились на скамеечке, и я ему прочел три лекции, даже рассказал одну свою теорему, такую, которую можно изложить на пальцах даже с доказательством: рассмотрим вычислимые функции, у которых множество значений бесконечно; совокупность их программ сама не может быть множеством значений вычислимой функции. Это довольно просто и красиво доказывается, но как-то до меня никто не сообразил, что такая теорема может быть. Я ему рассказал, ему понравилось.

А в конце третьей лекции я сказал, что больше лекций читать не буду. «Почему, что такое?» А вот почему: я обратил внимание, что к скамейке, где мы сидели, подошел трехлетний мальчик и начал что-то лепить из песка, и Гельфанд этим заинтересовался и одним ухом меня слушает, а сам обернулся туда и с увлечением строит куличики. «Вы меня перестали слушать, значит, уже хватит: никакого упрека, но произошел естественный конец».

Когда уже надо было уезжать, он мне сказал: «Вы сейчас заканчиваете аспирантуру, я Вас беру в свой отдел в отделении прикладной математики» (оно в несколько раз превосходило численностью, влиянием и финансами Математический институт Академии наук, отделением которого считалось) — «А что я там буду делать?» — «Мы с Вами будем писать книгу. Там надо будет охватить всю математику, но не просто общее введение, а в каждом разделе мы возьмем по яркой теореме. Вот я Вам сейчас расскажу, и мы обсудим». Ну, «обсудим» — это просто так сказано говорил он, а я, раскрыв рот, слушал. Теорема о том, как устроены какие-то поверхности третьего порядка, что-то такое. Теорема о каких-то функционалах. Теорема о том, как у дифференциальных уравнений решения закручиваются куда-то. «Берем эти разделы и пишем, будем обсуждать, Вы будете записывать».

Я пошел к А.Н. Колмогорову, он мой учитель (как, кстати, и Гельфанда). Я сказал, что меня пригласил Гельфанд, это большая честь. «Да, большая честь. Но я Вам скажу, что будет. В течение года, а если повезет, то двух, Вы будете его любимой игрушкой. Через два года он забудет о Вашем существовании». Как мне потом сказали некоторые ученики Гельфанда, которые его хорошо знали, так бы оно и произошло. Поэтому я предпочел не рисковать и пошел по пути, который предложил Колмогоров, — на мехмат МГУ.

Примечания (составлены М. Гельфандом)

1. Иван Матвеевич Виноградов — специалист по теории чисел, много лет был директором Математического института им. В. А. Стеклова, прославившись в этом качестве своим антисемитизмом.
2. B. M. Harvey et al. Topographic representation of numerosity in the human parietal cortex // Science. 2013. V. 341. P. 1123–1126.
3. Ю. И. Манин: «Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает». Троицкий вариант — Наука № 13 от 30.09.2008.
4. Диагональ квадрата несоизмерима (не выражается дробью с целочисленным числителем и знаменателем) с его стороной; это эквивалентно иррациональности квадратного корня из двух.
5. В. А. Успенский, А.Л. Семенов. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. М.: Наука. 1987 — 288 с.
6.    — основатель классической алгебры. От его прозвища «аль-Хорезми» (хорезмиец) происходит слово «алгоритм».
7. Three Olives, производится в Великобритании с 1998 года, но там не продается, а продается в США.
8. Альберт Швейцер. Иоганн-Себастьян Бах. Пер.: М. Друскин. М.: Музыка, 1964 — 728 с.
9. 
10. Тернарная проблема Гольдбаха: каждое число большее или равное шести является суммой трех простых чисел.
11. Henri Leon Lebesgue — автор современной теории интегрирования (так называемый интеграл Лебега).
12. Nicolas Lusin. Legons sur les Ensembles Analytiques et leurs Applications. Gauthier-Villars, 1930.-P. xvi+328. (См. также В. А. Успенский. Вклад Н.Н. Лузина в дескриптивную теорию множеств и функций: понятия, проблемы, предсказания // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. Вып. 3 (243). С. 85–116.).
13. А. Лебег. Предисловие к книге Н.Н. Лузина «Лекции об аналитических множествах и их приложениях» Пер. с французского В. В. Успенского // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. Вып. 3 (243). С. 9–14.
14. Михаил Яковлевич Суслин — автор (совместно с Н.Н. Лузиным) теории аналитических множеств (А-множеств).
15. Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ.
16. Ответ: «В аудитории найдется хотя бы один студент, который не знает ни баскского, ни чукотского языка».
17. Например, решим две задачи.
    (1) В ящике лежат 2 черных носка и 2 серых. Из ящика (не глядя) вынимают носок и потом еще один. Какова вероятность, что носки составили пару одного цвета? Ответ: 1/3.
    (2) В ящике лежат 2 черных носка и 2 серых. Из ящика (не глядя) вынимают носок, кладут обратно и потом опять вынимают носок. Какова вероятность, что были вынуты носки одного цвета? Ответ: 1/2.
18. В. А. Успенский. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера. Изд. 2е. М.: МЦНМО, 2012 — 48 с.
19. «Википедия». Статья «Лузин, Николай Николаевич».

Математика: наука / Православие.Ru

    

Слово «математика» тоже пришло из
древнегреческого языка. Сейчас мы прочно знаем, что
математика – это наука о числах и количествах, о
структурах, порядках и отношениях, что в нее входят
арифметика и алгебра, геометрия и тригонометрия, и т.д.
Однако очень интересно то, что в Древней Греции слово
τό
μάθημα

(mathēma)
первоначально значило просто знание, учение или науку
вообще, то есть, любую науку. И, например, словосочетание
τὰ παίδων
μαθήματα
,
встречающееся у Платона, значит знания, приобретенные в
детстве, а не детскую математику или подсчет детей.

Это древнегреческое слово является однокоренным с глаголом
μανθάνω
(manthanō) – учиться, изучать,
понимать. А существительное ὁ
μαθητής
(mathētēs),
встречающееся и в Новом Завете, обозначает вовсе не
математика, а ученика или последователя какого-то учителя
или учения.

В связи с такой любопытной этимологией я хотел бы отметить
две очень важные, как мне кажется, вещи.

1) Во-первых, конечно, есть четкая логика
в том, что слово, значившее сначала науку или знание
вообще, потом закрепилось за наукой математикой. Ведь
математика очень долго считалась образцом строгости и
научности для всех других наук, своего рода королевой в
царстве знаний. Например, «Начала»
древнегреческого математика Евклида больше двух
тысячелетий служили образцом для любого научного труда, а
классическая евклидова геометрия считалась единственно
возможной геометрией.

Галилео Галилей, заложивший основы математической физики,
говорил, что книга природы написана на языке математики, и
что надо уметь ее читать. Философ Спиноза строил свою
знаменитую «Этику» more geometrico, т.е., по
евклидову образцу – с аксиомами, теоремами, их
доказательствами и леммами. А Карл Маркс однажды сказал
даже, что любая наука лишь тогда станет совершенной, когда
ей удастся воспользоваться математикой.

Современную физику нельзя представить нематематической.
Знаменитый физик, лауреат Нобелевской премии по физике
1979 года Стивен Вайнберг говорит, что суть современной
физики – по-прежнему количественное понимание
явлений. И даже в квантовой физике то, что «материя
исчезла», что стало совершенно непонятно, что же
такое атом и его составные части (волны это или частицы),
что они совершенно непредставимы и неизобразимы, эту
неуловимость вещества поставили под численный учет и
контроль (принцип неопределенности Гейзенберга).
Современная неклассическая физика все равно измеряет
неизмеримое, потому что она в принципе не может перестать
считать, измерять и смотреть на мир через призму
количественных отношений.

Однако где-то со второй половины XIX века все более и
более ясным становилось то, что и математика тоже не
является безусловным и строгим знанием, что ее основания
тоже проблематичны. Кроме евклидовой геометрии были
открыты геометрии неевклидовы – геометрии
Лобачевского и Римана. С открытием теории относительности
даже обнаружилось, что неевклидова геометрия согласно ей
более адекватно описывает свойства космоса, мира в целом.

К началу ХХ века в математике также обнаружился кризис
ее оснований
, как и в других науках. Например, были
обнаружены логико-математические парадоксы, которые
сделали явной невыполнимость такой программы исследований
оснований математики, которая получила название
логицизма, то есть сведения всех математических
положений к основоположениям логики. Поэтому доказать, что
математика является логически непротиворечивой системой,
не удалось. Самым знаменитым логико-математическим
парадоксом, не имеющим решения, является парадокс
Рассела
. В более легкой формулировке он известен как
парадокс брадобрея:

Единственному деревенскому брадобрею приказали:
«Брить всякого, кто сам не бреется, и не брить
того, кто сам бреется»
. Кто побреет брадобрея,
и как ему поступить с сами собой? Брить или нет?

Словом, математика разделила судьбу всех других наук
– от веры в их незыблемость и истинность до
осознания их проблематичности и ненадежности самых главных
основ. В ней произошло то, что можно назвать утратой
определенности. Именно так – «Математика:
утрата определенности» – называется блестящая
научно-популярная книга о трудном историческом пути
математики как науки известного американского математика
Мориса Клайна.

Как он писал в «Введении», «эта книга
– горестный рассказ о бедствиях, выпавших на долю
математики – наиболее древнего и не имеющего себе
равных творения людей, плода их неустанных и многообразных
усилий, направленных на использование способности человека
мыслить. Можно также сказать, что эта книга на
общедоступном уровне повествует о расцвете и закате
величия математики…

В настоящий момент положение дел в математике можно
обрисовать примерно так. Существует не одна, а много
математик, и каждая из них по ряду причин не удовлетворяет
математиков, принадлежащих к другим школам. Стало ясно,
что представление о своде общепринятых, незыблемых истин
— величественной математике начала XIX в., гордости
человека – не более чем заблуждение. На смену
уверенности и благодушию, царившим в прошлом, пришли
неуверенность и сомнения в будущем математики. Разногласия
по поводу оснований самой “незыблемой” из наук
вызвали удивление и разочарование (чтобы не сказать
больше). Нынешнее состояние математики – не более
чем жалкая пародия на математику прошлого с ее глубоко
укоренившейся и широко известной репутацией безупречного
идеала истинности и логического совершенства».

2) Второе обстоятельство, связанное с математикой, имеет
отношение к тому, что христианская вера – это именно
вера, к ней неприложимы рациональные критерии,
действующие в научном знании.

Ведь самые основы христианства – учение о
Боге-Троице – вступают в полное противоречие с
самыми элементарными математическими положениями. Ибо как
можно рационально понять и осмыслить то, что Бог един и
одновременно троичен?

Что Он – един в Трех Лицах? Что Святая Троица
– Бог-Отец, Бог-Сын и Бог-Дух Святой – это три
Лица Единственного и Единого Бога? Что три здесь равно
одному, единице? Это входит в полное противоречие с нашими
элементарными умственными и математическими навыками и
привычками, с правилами счета, которые любой человек
осваивает, как правило, еще в дошкольном возрасте.

Кстати, интересно и показательно, что великий английский
физик Исаак Ньютон, основоположник математизированной
классической физики в молодости учился в Кембриджском
университете в колледже Святой Троицы и даже подумывал
стать священником, но в итоге решил не связывать свою
судьбу со священническим служением именно из-за сомнений в
учении о Троице. Да и позже он активно высказывал свои
антитринитарские воззрения.

Так что, наверно, прав был Тертуллиан, автор знаменитого
«Верую, ибо абсурдно», и не менее знаменитого
риторического вопроса «Что общего между Афинами и
Иерусалимом?» В данном случае он просто выразил то,
как следует грамотно думать о христианской вере, то, что
она не знание, а именно вера, которая в своей
основе радикально противоречит нашему логическому и
математическому рацио, рассудку. Верить можно
только в то, что не можешь знать сам по себе.

Что такое математика — ИНФОРМАТ

Математика — царица всех наук
Гаусс Карл Фридрих

Математика — наука, исторически основанная на решении задач о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач. Наука, занимающаяся изучением чисел, структур, пространств и преобразований.

Как правило, люди думают, что математика — это всего лишь арифметика, то есть изучение чисел и действий с их помощью, например, умножения и деления. На самом деле математика — это намного больше. Это способ описать мир и то, как одна его часть сочетается с другой. Взаимоотношения чисел выражаются в математических символах, которые описывают Вселенную, в которой мы живем. Любой нормальный ребенок может преуспевать в математике, потому что «ощущение числа» — это врожденная способность. Правда, для этого нужно приложить некоторые усилия и затратить немного времени.

Умение считать — это еще не все. Ребенку необходимо уметь хорошо выражать свои мысли, чтобы понимать задачи и устанавливать связи между фактами, которые хранятся в памяти. Для того чтобы выучить таблицу умножения, нужны память и речь. Именно поэтому некоторым людям с поврежденным мозгом трудно умножать, хотя другие виды счета не представляют для них сложности.

Для того чтобы хорошо знать геометрию и разбираться в форме и пространстве, требуются и другие виды мышления. С помощью математики мы решаем в жизни проблемы, например, делим шоколадку поровну или находим нужный размер ботинок. Благодаря знанию математики ребенок умеет копить карманные деньги и понимает, что можно купить и сколько денег тогда у него останется. Математика — это еще и способность отсчитать нужное количество семян и посеять их в горшочек, отмерять нужное количество муки для пирога или ткани на платье, понять счет футбольной игры и множество других повседневных дел. Везде: в банке, в магазине, дома, на работе — нам необходимо умение понимать числа, формы и меры и обращаться с ними. Числа — это только часть особого математического языка, а лучший способ выучить любой язык — это применять его. И начинать лучше с ранних лет.

О математике «умно»

Обычно идеализированные свойства исследуемых объектов и процессов формулируются в виде аксиом, затем по строгим правилам логического вывода из них выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Т.о. первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное к математике положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе существует много различных определений математики.

Разделы математики
  • Математический анализ.
  • Алгебра.
  • Аналитическая геометрия.
  • Линейная алгебра и геометрия.
  • Дискретная математика.
  • Математическая логика.
  • Дифференциальные уравнения.
  • Дифференциальная геометрия.
  • Топология.
  • Функциональный анализ и интегральные уравнения.
  • Теория функций комплексного переменного.
  • Уравнения с частными производными.
  • Теория вероятностей.
  • Математическая статистика.
  • Теория случайных процессов.
  • Вариационное исчисление и методы оптимизации.
  • Методы вычислений, то есть численные методы.
  • Теория чисел.
Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного математика — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. Пространство Rn, при n>3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях.

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Видео-лекция Смирнова С.К. и Ященко И.В. «Что такое математика»:

Похожая информация:

Урок 1: Что такое математика?

План урока:

Что такое математика? 

Понятие числа. Виды чисел

Классы и разряды чисел

Математические действия

Порядок выполнения математических действий в выражениях со скобками и без скобок

Правила нахождения неизвестного компонента при выполнении математических действий

Основные законы выполнения действий (переместительный, сочетательный, распределительный)

Интересные сведения из истории возникновения математики

 

Что такое математика?

Часто можно услышать высказывание «Математика-царица наук». А существует ли история математики, и что же это за наука? Так ли она необходима в современном мире?

Любой из нас ежедневно выполняет множество действий, которые неразрывно связаны с математикой, но даже не догадывается об этом. Посмотрите вокруг — компьютеры, телефоны, кондиционеры, телевизоры, но для правильного использования домашней техники необходимы знания, связанные с математикой. Идем дальше — магазины, спортивные секции, танцевальные занятия, увлечение литературой также нельзя представить без использования математики. Математические знания облегчают жизнь и делают её насыщенной.

Давайте разберемся, что такое математика:            

Дословный перевод с греческого утверждает, что математика — это наука или изучение. Более точное определение поясняет, что это наука, изучающая величины, числовые отношения и формы.

В школьном курсе изучения представлены такие разделы математики:

 

В основе изучения математики лежит ряд математических понятий и действий, без понимания которых невозможно выполнять простейшие вычисления.

 

Понятие числа. Виды чисел

В понятие числа входит обозначение количественного состава чего-либо.Это одно из главных определений в математике. Каждый вид числа появлялся в результате необходимости выполнения человеком тех или иных расчетов. В связи с необходимостью владеть информацией о количестве предметов, появилось понятие натурального числа и бесконечности ряда натуральных чисел. Необходимость измерения площадей, длин, объемов — породила рациональное число. Для решения сложных уравнений ввели комплексные числа.

 

  • Натуральные числа — это числа, получаемые при определении количества 1,2,3. Множество таких чисел принято обозначать буквой N. Например: 1,2,3 …..
  • Целые числа. Определение понятия формулируется так: множество натуральных, отрицательных чисел и нуль. Их принято обозначать буквой Z. Например: -2,-1,0,1,2,3,4…..
  • Рациональные числа. В понятие рационального числа входят дроби m/n, где n≠0, при этом m — целое число, а n — натуральное. Обозначаются буквой Q. Например: 2/3, -4/5
  • Действительные. В понятие действительного числа включены рациональные и иррациональные числа, которые могут записываться в виде обычной и десятичной конечной и бесконечной дробей, а также нуль. Обозначаются буквой R. Например: 1245, 5⅔, -648,35
  • Простыми называют натуральные числа, которые можно представить в виде двух множителей — единицы и самого этого числа. Обозначается буквой Р. Например: 1,3,7,11….
  • Также существуют Иррациональные числа – это числа, не являющиеся рациональными, то есть нельзя представить в виде дроби m/n, где n≠0, при этом m — целое число, а n — натуральное. Например, число  пи=3,1415926535, число e=2.718281828, квадратный корень из 3 и так далее.

 

Классы и разряды чисел

Если число представлено в виде одной цифры (5,9), то оно называется однозначным, в виде двух (24,31), трех (211,984) цифр — двузначным, трехзначным, а далее (1893,100561) просто многозначными.

Все существующие цифры сгруппированы по классам и разрядам натуральных чисел. Место цифры в записи числа называют разрядом. Самый маленький разряд – разряд единиц, за ним следует разряд десятков, сотен, тысяч.

Например:

 

При этом число разрядов в классе равняется 3. Самым большим числом класса единиц является 9, а самым большим числом класса тысяч 999999.

 

Математические действия

Существование математики невозможно без выполнения математических действий. Всего существует 4 вида арифметических действий:

 

Порядок выполнения математических действий в выражениях со скобками и без скобок

Так же имеется определенный порядок математических действий, запомнив который с легкостью можно решать задания любой сложности. Этот порядок зависит от наличия скобок и предложенных действий:

При отсутствии скобок, действия выполняются в обычном порядке. Вот правильный порядок математических действий в примере без скобок:

 24+16-5=35

1 действие: 24+16=40

2 действие: 40-5=35

 

В любом выражении первыми необходимо выполнить умножение или деление в порядке очереди. Вот правильный порядок арифметических действий без скобок:

 40-4×5+50=70

1 действие: 4×5=20

2 действие: 40-20=20

3 действие: 20+50=70 

 

Когда выражение содержит скобки, первыми вычисляются действия в скобках, а потом по порядку все остальные. Вот необходимый порядок математических действий в примере со скобками:

5+(20-10):2=10

1действие: 20-10=10

2 действие: 10:2=5

3 действие: 5+5=10

Все очень просто. Если сразу запомнить не получается, то можно пользоваться этим уроком, как шпаргалкой!

 

Следующий интересный момент заключается в том, что любой компонент математического действия имеет свое название:

 

Правила нахождения неизвестного компонента при выполнении математических действий

Для того, чтобы максимально упростить решение задач и уравнений, существуют специальные правила нахождения неизвестного компонента:

1) Сложение:

— для нахождения одного из слагаемых необходимо от суммы отнять второе слагаемое:

                                                                                                                              

Например:

?+48=50;

?=50-48=2.

 

2) Вычитание:

-для нахождения уменьшаемого достаточно найти сумму разности и вычитаемого:

 

Например:

?-25=50;

?=50+25+75.

 

-для нахождения вычитаемого, нужно от уменьшаемого отнять разность

 

Например:

44-?=10;

?=44-10=34.

 

3) Умножение:

— для нахождения множителя, необходимо найти частное произведения и второго множителя

 

Например:

?×6=48;

?=48:6=8.

 

4) Деление:

— для нахождения неизвестного делимого, необходимо найти произведение делителя и частного

 

Например:

?:11=3;

?=11×3=33.

                

— для нахождения неизвестного делителя, необходимо делимое разделить на частное

 

Например:                                                 

95:?=19;

?=95:19=5.

 

Основные законы выполнения действий (перместительный, сочетательный, распределительный)

Чтобы правильно и быстро выполнять любые арифметические действия всегда нужно помнить их основные законы, которые упрощают даже самый сложный процесс вычислений:

Переместительный закон для действий сложения и умножения.

Сформулируем переместительный закон сложения: при перестановке слагаемых сумма остается прежней.

Запишем равенство, выражающее переместительный закон сложения a+b=b+a

Например:

21+39=60 или 39+21=6015×3=45 или 3×15=45

           60=60                                45=45

 

Использование переместительного закона умножения.

Давайте сформулируем переместительный закон умножения: в случае перестановки множителей произведение остается прежним.

Запишем равенство, выражающее переместительный закон умножения a*b=b*a

Например:

11×8=88 или 8×11=88

             88=88

 

Применение  сочетательного закона в сложении.

Давайте сформулируем сочетательный закон сложения: чтобы сложить число и сумму чисел достаточно найти сумму этого числа и любого слагаемого, и к ней прибавить второе слагаемое.

Запишем равенство, выражающее сочетательный закон сложения a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c

Примеры сочетательного закона сложения:

20+(60+10)=90 или 20+(60+10)=90 или 20+(60+10)=20+60+10=90

1 действие: 60+10=70   1 действие: 20+60=80

2 действие: 20+70=90   2 действие: 80+10=90

 

Использование сочетательного закона умножения.

Этот закон также распространяется и на действие умножение. Давайте сформулируем сочетательный закон умножения: если необходимо, выполнить умножение числа на произведение чисел, то можно любые два множителя заменить их произведением a×(b×c)=(a×b)×c=a×b×c

Например:

10×(5×2)=(10×5)×2=10×5×2=100

 

Применение распределительного закона.

Давайте разберемся, что такое распределительный закон и как он формулируется. Вот формулировка распределительного закона сложения: для умножения числа на сумму, необходимо найти произведения этого числа с одними вторым слагаемыми, а результаты сложить.

Запишем равенство, выражающее распределительный закон a×(b+c)=ab+ac

Например:

4×(5+10)=4×5+4×10=20+40=60

В случае, когда вычитаемое меньше или равно уменьшаемому, можно использовать распределительный закон для нахождения произведения числа и разности чисел. Для умножения числа на разность, необходимо сначала умножить на уменьшаемое, после на вычитаемое и найти разность полученных произведений. В буквенном виде записывается так: a×(b-c)=a×b-a×c, если b≥c

Например:                                                                                                   

9×(10-6)=9×10-9×6=90-54=36.

Достаточно понять или запомнить эти простые законы и тогда любые задачи или уравнения будут казаться очень простыми и интересными, а уроки математики станут любимыми.

 

Интересные сведения из истории возникновения математики

Откуда же взялась математика? Куда же уходит корнями история развития математики? Самым первым источником появления простейшей математики ученые считают пальцы на руках и ногах, а также различные части тела. Об этом свидетельствует множество наскальных рисунков, дошедших до нашего времени. Учеными установлено, что 6 тысяч лет назад древние вавилоняне уже использовали простые математические действия: для бытовых нужд, учета скота, подсчета количества урожая, размера прибыли и расходов, при совершении купли или продажи различных товаров. Позже они же первые упоминают о решении математических задач и уравнений повышенной сложности. К самым первым математическим открытиям относят возникновение математических действий, которые известны нам как сложение, вычитание, умножение и деление.

Ученые-историки до сих пор спорят о точной дате появления этой науки и о месте, где впервые она появилась. Конкурентами в этом споре выступают древний Вавилон и Египет. Самые первые подтверждения математической деятельности принадлежат Свазиленду. Там найдены кости бабуинов с нанесенными черточками, которые явно говорят о первых математических операциях, выполненных 40000 лет назад.

(Источник)

 

А когда же появились дроби? Упоминания о дробях возникли гораздо позже, но уже достоверно известно, что жители древнего Египта совершали операции с дробями, у которых числителем являлась единица.

А вот представление о десятичных дробях появилось всего лишь пять столетий назад, а в Европу попало только через 200 лет после появления.

 

 (Источник)

 

Невероятные факты, связанные с математикой:

  • Всю математическую науку возможно записать в сто тысяч томов;
  • Центилион — самое большое известное число, содержащее шестьсот нулей;
  • Наименьшее число используется только в астрономии. Названия не имеет. Записывается дробью; после запятой имеет сто миллионов триллионов нулей, а в конце единицу;
  • Самая магическая цифра, которая таит множество суеверий — 666. В Европейской палате все время пустует только одно кресло под номером 666. Во всем мире люди стараются не использовать это число. Такой номер не присваивается телефонным кодам, автобусам,трассам или поездам;
  • В Китае самым суеверным числом считают число 4. При этом, такой номер не присваивается домам, квартирам, нет даже 4 этажа.

Математика очень дружна со всеми существующими науками, видами деятельности и профессиями. Одно мудрое выражение гласит «Математика-язык других наук». Поспорить с этим очень сложно, ведь она является основой для развития таких дисциплин:

  • Химия;
  • Физика;
  • Астрономия;
  • Биология;
  • История;
  • Экономика;
  • География;
  • Информатика;
  • Политология;
  • Музыка;
  • Литература.

Теперь мы можем с уверенностью сказать, что знание математики — залог вашей успешности и развития не только в будущем, а уже сегодня!

 

математика — это… Что такое математика?

  • математика — математика …   Нанайско-русский словарь

  • МАТЕМАТИКА — Между духом и материей посредничает математика. Хуго Штейнхаус Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. Джордж Сантаяна Он стал поэтом для математика у него не хватало фантазии. Давид Гильберт об одном… …   Сводная энциклопедия афоризмов

  • МАТЕМАТИКА — (греч.). Наука о величинах, вообще о том, что можно выразить цифрами. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. МАТЕМАТИКА греч. mathematike, от mathema, ta mathemata, выученное, наука, знание, от manthano,… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… …   Философская энциклопедия

  • МАТЕМАТИКА — (греч. mathematike от mathema наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. математика преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах;… …   Большой Энциклопедический словарь

  • МАТЕМАТИКА — МАТЕМАТИКА, математики, мн. нет, жен. (греч. mathematike). Цикл наук, изучающих величины и пространственные формы (арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и т.д.). Чистая математика. Прикладная математика. Высшая математика. Толковый… …   Толковый словарь Ушакова

  • МАТЕМАТИКА — (от греческого mathema знание, учение, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах окружающего нас мира. Понимание самостоятельного положения математики как особой науки возникло в Древней Греции в 6 5 вв. до нашей эры.… …   Современная энциклопедия

  • МАТЕМАТИКА — жен. наука о величинах и количествах; все, что можно выразить цифрою, принадлежит математике. чистая, занимается величинами отвлеченно; прикладная, прилагает первую к делу, к предметам. Математика делится на арифметику и геометрию, первая… …   Толковый словарь Даля

  • Математика — (от греческого mathema знание, учение, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах окружающего нас мира. Понимание самостоятельного положения математики как особой науки возникло в Древней Греции в 6 5 вв. до нашей эры.… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • Математика —  Математика  ♦ Mathématique    Первоначально наука о величинах, фигурах и числах (см. Аристотель, «Метафизика», книга 13 (М), глава 3). Затем, и чем дальше, тем больше – наука, позволяющая дедуктивно гипотетически осмыслить или вычислить… …   Философский словарь Спонвиля

  • МАТЕМАТИКА — МАТЕМАТИКА, наука, изучающая свойства чисел, пространства и формы, а также делающая дедуктивные предположения по поводу абстрактных категорий. Часто делится на чистую математику, рассматривающую исключительно абстрактные доказательства аксиом, и… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Лекция по математике на тему «Роль математики в науке, технике и экономике»

    Занятие №1

    Тема: Введение

    Тема: Роль математики в науке, технике и экономике

    1. Роль математики в смежных областях науки

    МАТЕМАТИКА (греч. mathematike, от mathema — наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения.

    Математика – это наука, которая изучает величины, количественные отношения и пространственные формы.

    Математика представляет собой основу фундаментальных исследований в естественных и гуманитарных науках. В силу этого значение её в общей системе человеческих знаний постоянно возрастает. Математические идеи и методы проникают в управление весьма сложными и большими системами разной природы: полетами космических кораблей, отраслями промышленности, работой обширных транспортных систем и других видов деятельности. Приложения различных областей математики стали неотъемлемой частью науки, в том числе: физики, химии, геологии, биологии, медицины, лингвистики, экономики, социологии и др.

    1. Исторический аспект становления математики как науки

    До начала 17 в. математика — это преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах. Изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее — алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура.

    В 17 и 18 вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений.

    В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д.

    В 19-20 вв. математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию »пространств», весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме.

    В связи с этим в 19-20 вв. численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь — вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, »математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин; таковы, например, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.

    3.Математическое образование- его важность и целесообразность

    Математическое образование — это процесс воспитания личности через обучение математике, способствующий общественным и личным интересам в приобретении математических знаний и формировании математической культуры. Значение математики состоит в том, что она позволяет по единому образцу описать большое количество разнообразных по своей природе процессов, используя при этом систему универсальных методов анализа.

    Прежде всего, целью математического образования является

    — Культурное развитие. Математика вообще и геометрия в частности являются феноменом мировой, общечеловеческой культуры.

    — Духовное развитие. Математика возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека. Многие религии и религиозные культы мира полагают, что математическое знание имеет высшее, Божественное происхождение. Духовно развитый человек должен иметь достаточное математическое образование.

    — Эстетическое развитие. Математическое знание, теории, методы и факты образуют цельный, гармоничный и непротиворечивый мир, способствующий эстетическому развитию (воспитанию) человека.

    Нравственное развитие (воспитание) . В основе математического знания лежит принцип доказательности, один из самых нравственных принципов, созданных мыслящим человечеством.

    — Творческое развитие. математические методы способствует развитию интуиции и воображения (здесь особо следует выделить геометрию), а следовательно, способствует творческому развитию, поскольку в основе любого творчества лежат воображение и интуиция.

    — Интеллектуальное развитие. То, что именно математика среди всех учебных предметов наиболее способствует интеллектуальному развитию человека общепризнанно и общеизвестно (следует добавить, что именно математика обычно используется как инструмент для измерения интеллектуального развития ученика)

    Математическая подготовка необходима для понимания принципов устройства и использования современной техники, восприятия научных и технических идей. Математика является языком науки и техники. С помощью неё моделируются и изучаются явления и процессы, происходящие в природе».

    Во всем этом намеренно выделено «продолжение образования», что, по-моему, является главным ответом для наших родителей на вопрос об актуальности изучения математики.

    Помимо того, что математика имеет огромную практическую значимость, которую и так все понимают, когда о ней только начинают говорить, её изучение также имеет ценность в формировании нравственных качеств личности. Она требует умственных и волевых усилий, концентрации внимания, активности развитого воображения, что способствует развитию таких нравственных черт личности, как настойчивость, целеустремленность, самостоятельность, ответственность, трудолюбие, дисциплина. Изучение математики позволяет формировать умения и навыки умственного труда  планирование свой работы, поиск рациональных путей её выполнения, критическая оценка результатов, что очень ценится в современном обществе. Именно воспитание подобных качеств личности, умений и навыков является главной целью математического образования.

    Домашнее задание: повторить конспект занятия

    Что такое математика? | Живая наука

    Математика — это наука, которая занимается логикой формы, количества и расположения. Математика окружает нас повсюду, во всем, что мы делаем. Это строительный материал для всего в нашей повседневной жизни, включая мобильные устройства, архитектуру (древнюю и современную), искусство, деньги, инженерное дело и даже спорт.

    С самого начала записанной истории математические открытия были в авангарде каждого цивилизованного общества и использовались даже в самых примитивных культурах.Потребности в математике возникли на основе потребностей общества. Чем сложнее общество, тем сложнее математические потребности. Первобытным племенам требовалось немного больше, чем умение считать, но они также полагались на математику для расчета положения солнца и физики охоты.

    История математики

    Несколько цивилизаций — в Китае, Индии, Египте, Центральной Америке и Месопотамии — внесли свой вклад в математику, которую мы знаем сегодня. Шумеры были первыми, кто разработал систему счета.Математики разработали арифметику, которая включает в себя основные операции, умножение, дроби и квадратные корни. Система шумеров перешла через Аккадскую империю к вавилонянам около 300 г. до н. Э. Шестьсот лет спустя в Америке майя разработали сложные календарные системы и были опытными астрономами. Примерно в это же время была разработана концепция нуля.

    По мере развития цивилизаций математики начали работать с геометрией, которая вычисляет площади и объемы для выполнения угловых измерений и имеет множество практических приложений.Геометрия используется во всем: от домашнего строительства до моды и дизайна интерьера.

    Геометрия идет рука об руку с алгеброй, изобретенной в девятом веке персидским математиком Мохаммедом ибн-Мусой аль-Ховаризми. Он также разработал быстрые методы умножения и погружения чисел, которые известны как алгоритмы — искажение его имени.

    Алгебра предложила цивилизациям способ делить наследство и распределять ресурсы. Изучение алгебры означало, что математики решали линейные уравнения и системы, а также квадратики и копались в положительных и отрицательных решениях.Математики в древности тоже начали интересоваться теорией чисел. У истоков построения формы теория чисел изучает фигуральные числа, характеризацию чисел и теоремы.

    Математика и греки

    Изучение математики в ранних цивилизациях было строительным блоком для математики греков, которые разработали модель абстрактной математики через геометрию. Греция с ее невероятной архитектурой и сложной системой управления была образцом математических достижений до наших дней.Греческие математики были разделены на несколько школ:

    • Ионическая школа , основанная Фалесом, которому часто приписывают первые дедуктивные доказательства и разработку пяти основных теорем плоской геометрии.
    • Школа Пифагора , основанная Пифагором, который изучал пропорции, плоскую и твердотельную геометрию, а также теорию чисел.
    • Элейская школа , в которую входил Зенон Элейский, известный своими четырьмя парадоксами.
    • Школа софистов , которая предлагает высшее образование в развитых греческих городах.Софисты давали инструкции по публичным дебатам, используя абстрактные рассуждения.
    • Платоническая школа , основанная Платоном, который поощрял исследования в области математики в среде, очень похожей на современный университет.
    • Школа Евдокса , основанная Евдоксом, который разработал теорию пропорций и величин и создал множество теорем в плоской геометрии
    • Школа Аристотеля , также известная как Лицей, была основана Аристотелем и последовала Платоническая школа.

    Помимо перечисленных выше греческих математиков, многие греки оставили неизгладимый след в истории математики. Архимед, Аполлоний, Диофант, Папп и Евклид пришли из этой эпохи. Чтобы лучше понять последовательность и то, как эти математики влияли друг на друга, посетите эту временную шкалу.

    В это время математики начали работать с тригонометрией. Вычислительная природа тригонометрии требует измерения углов и вычисления тригонометрических функций, которые включают синус, косинус, тангенс и их обратные величины.Тригонометрия основана на синтетической геометрии, разработанной греческими математиками, такими как Евклид. Например, теорема Птолемея дает правила для хорд суммы и разности углов, которые соответствуют формулам суммы и разности для синусов и косинусов. В прошлых культурах тригонометрия применялась к астрономии и вычислению углов небесной сферы.

    После падения Рима развитие математики взяли на себя арабы, а затем европейцы. Фибоначчи был одним из первых европейских математиков и прославился своими теориями по арифметике, алгебре и геометрии.Эпоха Возрождения привела к достижениям, которые включали десятичные дроби, логарифмы и проективную геометрию. Теория чисел была значительно расширена, а теории вероятностей и аналитическая геометрия открыли новую эру математики с расчетом на переднем крае.

    Развитие математики

    В 17 веке Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц независимо друг от друга разработали основы математического анализа. Развитие математического анализа прошло три периода: ожидание, развитие и строгость.На этапе ожидания математики пытались использовать методы, включающие бесконечные процессы, чтобы найти области под кривыми или максимизировать определенные качества. На стадии разработки Ньютон и Лейбниц объединили эти методы через производную и интеграл. Хотя их методы не всегда были логически обоснованными, математики в 18 веке начали этап ригоризации и смогли обосновать их и создать заключительный этап исчисления. Сегодня мы определяем производную и интеграл в терминах пределов.

    В отличие от исчисления, которое представляет собой тип непрерывной математики, другие математики придерживаются более теоретического подхода. Дискретная математика — это раздел математики, который имеет дело с объектами, которые могут принимать только отдельные, отдельные значения. Дискретные объекты можно охарактеризовать целыми числами, тогда как непрерывные объекты требуют вещественных чисел. Дискретная математика — это математический язык информатики, поскольку он включает изучение алгоритмов. Сферы дискретной математики включают комбинаторику, теорию графов и теорию вычислений.

    Люди часто задаются вопросом, чем сегодня служат релевантные математики. В современном мире математика, такая как прикладная математика, не только актуальна, но и крайне важна. Прикладная математика — это разделы математики, которые занимаются изучением физического, биологического или социологического мира. Идея прикладной математики заключается в создании группы методов, решающих научные задачи. Современные области прикладной математики включают математическую физику, математическую биологию, теорию управления, аэрокосмическую инженерию и математические финансы.Прикладная математика не только решает задачи, но также открывает новые проблемы или развивает новые инженерные дисциплины. Прикладным математикам требуется опыт во многих областях математики и естественных наук, физической интуиции, здравого смысла и сотрудничества. Обычный подход в прикладной математике — построить математическую модель явления, решить модель и разработать рекомендации по повышению производительности.

    Хотя чистая математика не обязательно противоположна прикладной математике, ее движут абстрактные проблемы, а не проблемы реального мира.Многое из того, чем занимаются чистые математики, может иметь свои корни в конкретных физических проблемах, но более глубокое понимание этих явлений порождает проблемы и технические детали. Эти абстрактные проблемы и технические детали и есть то, что пытается решить чистая математика, и эти попытки привели к крупным открытиям для человечества, включая универсальную машину Тьюринга, теоретизированную Аланом Тьюрингом в 1937 году. Универсальная машина Тьюринга, которая зародилась как абстрактная идея, позже заложил основу для развития современного компьютера.Чистая математика абстрактна и теоретически основана, и поэтому не ограничена физическим миром.

    По словам одного чистого математика, чистые математики доказывают теоремы, а прикладные математики строят теории. Чистое и прикладное не исключают друг друга, но они уходят корнями в разные области математики и решения задач. Хотя сложная математика, используемая в чистой и прикладной математике, находится за пределами понимания большинства средних американцев, решения, выработанные на основе этих процессов, повлияли на жизнь всех и улучшили ее.

    .

    по математике | Определение и история

    Математика , наука о структуре, порядке и отношениях, которая возникла из элементарных практик подсчета, измерения и описания форм объектов. Он имеет дело с логическим рассуждением и количественным расчетом, и его развитие повлекло за собой все большую степень идеализации и абстракции предмета. С XVII века математика была незаменимым дополнением к физическим наукам и технологиям, а в последнее время она стала играть аналогичную роль в количественных аспектах наук о жизни.

    Британская викторина

    Математика

    Как лучше всего представить подмножество?

    Во многих культурах — под влиянием потребностей практических занятий, таких как торговля и сельское хозяйство, — математика далеко вышла за рамки простого счета. Этот рост был наибольшим в обществах, достаточно сложных, чтобы поддерживать эту деятельность и предоставлять досуг для размышлений и возможность опираться на достижения более ранних математиков.

    Все математические системы (например, евклидова геометрия) представляют собой комбинации наборов аксиом и теорем, которые могут быть логически выведены из аксиом. Исследования логической и философской основы математики сводятся к вопросу о том, обеспечивают ли аксиомы данной системы ее полноту и непротиворечивость. Для полного рассмотрения этого аспекта, см. математика, основы.

    Эта статья посвящена истории математики с древнейших времен до наших дней.Вследствие экспоненциального роста науки большая часть математики развивалась с 15 века нашей эры, и это исторический факт, что с 15 века до конца 20 века новые разработки в математике были в основном сконцентрированы в Европе и Северной Америке. . По этим причинам основная часть данной статьи посвящена европейским разработкам с 1500 г.

    Получите эксклюзивный доступ к контенту из нашего первого издания 1768 с вашей подпиской.
    Подпишитесь сегодня

    Это, однако, не означает, что события в других местах были несущественными.Действительно, чтобы понять историю математики в Европе, необходимо знать ее историю, по крайней мере, в древней Месопотамии и Египте, в Древней Греции и в исламской цивилизации с 9 по 15 века. То, как эти цивилизации влияли друг на друга, и важный непосредственный вклад Греции и ислама в более поздние события, обсуждаются в первых частях этой статьи.

    Вклад Индии в развитие современной математики был сделан благодаря значительному влиянию достижений Индии на исламскую математику в годы ее становления.Отдельная статья, «Математика Южной Азии», посвящена ранней истории математики на Индийском субконтиненте и развитию там современной десятичной системы счисления с разрядами. Статья «Восточноазиатская математика» освещает в основном независимое развитие математики в Китае, Японии, Корее и Вьетнаме.

    Основным разделам математики посвящено несколько статей. См. Алгебру ; анализ; арифметика; комбинаторика; теория игры; геометрия; теория чисел; числовой анализ; оптимизация; теория вероятности; теория множеств; статистика; тригонометрия.

    .

    Наука и математика: что такое математика? Показывается 1-50 из 105

    Я вижу, что многие здесь заявляют, что я когда-то утверждал, что математика — это язык. Я думаю, что это результат слишком узкого взгляда на математику, как на просто набор слов и символов, которые используются некоторыми лингвистически допустимыми способами и некоторыми лингвистически недопустимыми способами (пример нарушения математической грамматики прост: 1 + 1 → { R / S}. Все эти символы используются в математике, но их нельзя даже назвать истинными или ложными, они просто бессмысленны.). Вместо этого, я думаю, нам следует более внимательно относиться к тому, как эти символы и слова используются в социальной практике.

    Есть два простых и неточных описания того, как выполняется математика — и как это делается на самом деле, представляет собой сложное сочетание двух. Но стоит описать их, чтобы подчеркнуть мою точку зрения:

    1) Математик долгое время работает с некоторыми видами естественных математических структур (целые числа, евклидова геометрия и т. математические объекты (например, рациональные числа) или удаление некоторых аксиом (приходит на ум Пятый постулат Евклида), или каким-то другим способом просто играть с уже существующими структурами каким-то образом, что дает новую структуру для изучения.Затем это хорошо понимают многие люди, которые понимают, что это очень хорошо подходит для описания какой-то практически полезной физической системы и применяется в качестве основного инструмента в некоторых научных дисциплинах.

    2) У научной дисциплины есть некоторые проблемы в понимании или вычислении некоторых особенностей ее исследования. Затем он ищет математиков, чтобы либо создать полезную математическую структуру, описывающую их исследования, либо разработать теоремы, касающиеся существующих математических структур, которые позволяют их использовать более эффективно.Примером последнего является то, что, понимая, что распад радиоактивных веществ пропорционален массе радиоактивного вещества, мы обнаруживаем, что нам нужен математический способ описания отношений между величинами, их скоростью изменения, скоростью ускорения и так далее → таким образом родилось изучение дифференциальных уравнений, разработка теорем, таких как теоремы существования и единственности, которые позволяют нам перестать искать лишние решения, как только одно решение было найдено. Примером первого может быть теория графов, применяемая в компьютерных науках, или развитие теории категорий.

    Итак, теперь я выскажу свою точку зрения. Я считаю, что математика — это не просто язык, а кодификация точного рационального мышления. У нас есть не просто слова и символы для грамматических предложений, но в самой системе встроены стандарты того, что является истинным и ложным. 5 + x = 10 ⇒x = 5 так же грамматически, как 5 + x = 10 ⇒ x = 0, но первое требуется аксиомами и выводами, выбранными как истинные, а второе — нет. Ни один язык, за исключением очень гибкого представления о том, что такое язык, не разработан с допустимыми выводами, встроенными в него.

    Напротив, математика — это заранее изученный набор рациональных выводов. Вам нужно узнать, сколько когда-то стоил предмет, основываясь на том, сколько он сейчас стоит и процент изменения? Вот, займись алгеброй! Мы уже точно выяснили, как рационально разобраться во всех таких сценариях и сделать рациональный вывод о предыдущей стоимости. Конечно, вы могли бы разобраться самостоятельно. Скажем, это стоит 50 долларов, и это результат снижения цены на 50%. Это несложно выяснить: какая сумма в долларах при уменьшении на 50% равна 50 долларам? Ну и 100 пружин на ум.Это даже не совсем математические рассуждения, а просто быстрое и естественное понимание. Но если у вас есть более сложная проблема, математики поняли, что вы всегда можете проанализировать ситуацию как: Новая цена = Старая цена + (Процентное изменение) (Старая цена). Просто введите конкретный номер вашей конкретной проблемы в эту формулу, бездумно запустите алгебру, и вы получите ответ.

    Даже более продвинутая математика работает таким образом, только более сложными способами. Пытаетесь найти площадь фигуры, описываемой функцией f (x), и хотите узнать, существует ли интеграл ∫f (x) dx, прежде чем пытаться это сделать? Что ж, покажите, что это непрерывно, и вы получите то, что хотите.Вы знаете это, потому что какой-то математик давно прошел через схему рассуждений, чтобы показать, что все непрерывные функции интегрируемы, так что теперь вам не нужно этого делать. Он, в некотором смысле, предварительно переварил аргументы за вас, и теперь вы можете пропустить их, если доверяете ему. Как он это сделал? Потому что математическая структура поля действительных чисел была разработана для «описания» или обоснования физических сценариев (например, объема, который вы пытаетесь найти). Любая форма рассуждений, применимая к действительным числам, будет примерно применяться к тому, что примерно похоже на реальные числа.И, по крайней мере, имея дело с галантерейными товарами среднего размера, физический мир похож на реальные числа. Пространство имеет три измерения, каждый отрезок линии кажется бесконечно делимым (по крайней мере, для многих десятичных знаков аппроксимации, поэтому нам не нужно об этом беспокоиться), и все кажется, что оно должно быть алгебраически полным.

    Надеюсь, я хорошо изложил свое основное утверждение: математика сама по себе не является логикой (я не особо много говорил об этом в своем посте, но должно быть очевидно, что я не думаю, что это так — логика касается рассуждений о НИЧЕГО, в то время как математические предметы занимаются рассуждениями о том, для чего их структуры предназначены для рассуждений), а математика — это не просто язык.Это набор техник рассуждения и умозаключений по предметам, имеющим заданную структуру. Я знаю, что говорить это высокомерно, но мне нравится использовать слоган: «Мы думаем, так что вам не нужно».

    .

    Что такое прикладная математика? | О нас | Технические науки и прикладная математика

    Northwestern University

    • Northwestern Engineering
      • Около
      • Академики
      • Научно-исследовательский центр
      • Офисы и услуги

      • Информация для:
      • Студенты
      • Преподаватели и сотрудники
      • Выпускники
      • Компании

      • Новости и события
      • Контакты и посещение

    McCormick School of Engineering

    • Студенты
    • Выпускники

    поищи на сайте

    Поиск

    • Около
      • Около
      • Сообщение кафедры
      • Что такое прикладная математика?
      • Краткая информация
    • Академики
      • Академики
      • Бакалавриат
      • Аспирантура
      • Курсы

      Быстрые ссылки

      • Поступление в аспирантуру
      • Ресурсы для студентов
      • Области исследований
      • Аффилированные центры и институты
    • Персонал
      • Преподаватели
      • Персонал
      • аспиранты
      • Посещение преподавателей и постдока
      • Консультативный совет
    • Новости
    • 9000 Все события 9000
    • Коллоквиумы и семинары
  • Контакты
  • поищи на сайте

    Поиск

    Меню

    • О насСвернутьО подменю
      • О
      • Сообщение от кафедры
      • Что такое прикладная математика?
      • Краткие сведения
    • АкадемикиCollapseAcademics Submenu
      • Академики
      • БакалавриатСвернутьПодменю бакалавриата
        • Бакалавриат
        • Степень бакалавра наукСвернутьПодменю степени бакалавра наук
          • Степень бакалавра наук
          • Учебный план и требования
          • Примерное четырехлетнее расписание
          • Примерное расписание совместной работы
        • Двойной диплом
        • Совместная программа BS / MS
        • Специальные программы
        • 30 Студенческие организации
        • 30 Подменю АспирантурыСвернутьПодменю Аспирантуры
          • Аспирантура
          • МагистрСвернутьПодменю магистратуры
            • Степень магистра
            • Учебный план и требования
            • Прием
          • PhDCollapsePhD Submenu
            • PhD
            • Учебный план и требования
            • Типичная последовательность докторантов
            • Прием
          • Незначительный по научным вычислениям
          • Семинар для выпускников первого годаCollapseFirst-Year Graduate Workshop Submenu
            • Галерея
            • Семинар для студентов первого года обучения
        • КурсыCollapseCourses Submenu
          • Курсы
          • Все факультеты Курсы
      • ИсследованияCollapseResearch Submenu
        • Исследования
        • Области исследований Свернуть Подменю областей исследований
          • Области исследований
          • Асимптотический анализ
          • Биологические системы
          • Сложные системы
          • Диффузионные процессы
          • Науки о Земле
          • Гидродинамика
          • Материаловедение
          • Математическая биология
          • Социальное распространение Stellar Astrophysics
        • Дочерние центры и институты
      • ЛюдиCollapsePeople Submenu
        • Факультет
        • Персонал
        • Аспиранты
        • Приглашенные преподаватели и постдоки
        • Консультативный совет
      • Новости и событияCollapseNews & Events Submenu
        • Все новости
        • Все события
        • Коллоквиумы и семинарыСвернутьПодменю коллоквиумов и семинаров
          • Коллоквиумы и семинары
          • Лекции памяти Рейсса
          • Прошедшие коллоквиумы
          • Стивен Х.Симпозиум Дэвиса
      • Контакты
        • СтудентыСвернутьТекущие ресурсы для студентов Подменю
          • Текущие студенты
          • Ресурсы для карьеры
          • Формы и документы
          • Вычислительная техникаCollapseComputing Submenu
            • Вычислительные ресурсы
            • Программное обеспечение
            • Работа в автономном режиме
            • Удаленная работа
            • Латексная
          • Справочники для студентов
          • Закупки и возмещение
          • Поездки на конференцию
          • 9007 9007
          • 0
          • Северные группы студентов

          • 0